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古代数学

一、数字符号

讨论数学之前,我们先看一个关于语文的笑话。

从前有个孩子,很不爱学习。老师只教了他一、二、三这3个字,他就不想学了,认为自己已经都会了。有一天,他爸爸让他写信请万老爷吃饭,等了半天也不见他写好。过去一问,那孩子抱怨说,老爷姓什么不好,偏姓万,我这“万”字才写了1000多横,还差9000横呢。

在5000多年前的古埃及,这个笑话可不是笑话。因为古埃及的数字符号,还真就是一个个罗列出来的。五就是5个“一”,八就是8个“一”。当然他们不会划10000笔去表示“万”。他们用不同的符号来表示“十、百、千、万”,但是表达方式还是逐一罗列。四十就是4个“十”,七十就是7个“十”。

古埃及人的邻居,古巴比伦人,也用类似的方式表示数字。四十就是4个“十”,五十就是5个“十”。当然他们懂得进位,这个我们后面再说。

作为地中海文明的继承人,古罗马的数学表达方式与前两者一脉相承。8就是VIII,18就是XVIII,就这么无限叠加上去。如果要表示1888,那简直恐怖。它是MDCCCLXXXVIII。再大一些的数字就更是难以想象了。

在数字符号的进化史上,这种靠罗列叠加组织起来的系统是比较原始的。从古埃及到罗马,发展了3000多年,几乎毫无进步。整套符号系统就只建立在“加法”这一种运算之上。仅有的区别只是“十、百、千、万”等几个符号图案的画法不同而已。

中国人很早就达到了另一个高度。在他们的甲骨文里,不仅定义了“加法”,而且还定义了“乘法”。所以把“六”和“十”拼在一起,就是六十。把“八”和“百”拼在一起,就是八百。这样的表达,既清晰又简洁,效率远远超过“加法”系统。

前面提到过,古巴比伦人有一项独特的发明:进位。因为他们的楔形文字是用特殊的楔形笔写成的,画不出特别复杂的图案,所以在设定了“一”和“十”的符号图案之后,更大的数字符号就无法表达了。于是他们想出了进位法,让数字的位置也来表示大小。往左一位,数字就扩大60倍。这就成了后世60进制的源头。

进位法虽然聪明,可惜还是不能绕过楔形文字的天然缺陷。因为楔形文字的字型散乱,数字的位置非常不容易识别。比如下面这个符号,既可以解释成80,也可以解释成4210。

要想表达出空位就更难了,1、60和3600之间几乎无法分辨。

对于中国先秦时代便已普及的算筹来说,识别数字位置完全是小菜一碟。因为它全部由长度相等的竹片组成,无论什么数字,摆出来都是方方正正的一块。空位,甚至小数都很容易表示出来。

在中国,空位的使用可谓历史悠久。古书中缺失的汉字,也都是用空位来表示的。因为汉字全都是一个个方块,所以空位中缺多少个字都能一目了然。也许是实在太方便了,所以中国人竟然一直没有想到要设定一个符号来表示空位。

公元7世纪左右,印度人发明了0,为人类的数字符号系统砌上了最后一块砖头。然后这套数字符号经由阿拉伯人传入欧洲,再由欧洲人带向世界,成了现在通行的“阿拉伯”数字。

二、问题与文化

孔子曰:“不学诗,无以言”。任何一段话说出来,都有它的文化背景。数学问题当然也是如此。尤其是那些被收入古代数学典籍的问题,它们的提出和解答,都是非常珍贵的历史资料。在此,我们摘录几个典型的古代数学问题,以便直观地感受它们之间的区别。

典型的古希腊数学问题。我们取《几何原本》中2例:

证明:半圆上的角是直角。

证明:如果两个三角形的高相同,则其面积之比等于其底长之比。

典型的中国数学问题。我们取《九章算术》中2例。

已知上等稻3捆,中等稻2捆,下等稻1捆,可出米39斗。上等稻2捆,中等稻3捆,下等稻1捆,可出米34斗。上等稻1捆,中等稻2捆,下等稻3捆,可出米26斗。请问上、中、下等稻每捆分别能出米几斗。

有一城为正方形,不知其大小。出北门20步有树。出南门14步,折向西行1775步,回头可以看到北门的树。问方城的边长。

典型的印度数学问题。我们取《计算精华》中1例:

有一条很厉害的黑蛇,总长32尺,要钻进一个洞里去。每过5/14日,它就能钻进7.5寸。但是每过0.25日,它尾巴又会增长2.75寸,问何时才能完全钻入洞内?

我们再取《婆罗摩及多》中1例。

山顶住着2个苦行者,其中1人为巫师。有一天,巫师从山顶笔直跳向空中,然后沿斜线降落到一个小镇上。另一人从山顶垂直下到地面,然后直行到达小镇。两人所经距离相等,求山顶和小镇的距离,以及巫师升空的高度。

从字面上看,古希腊的数学问题显得最为独特。第一,它们形式特别抽象。第二,它们都是关于几何图形的。第三,这些问题的答案都已经给出了,需要的只是证明。

古希腊数学的这3个特点,可以有一个共通的解释,那就是他们的数字符号系统太落后了。想象一下,如果用“加法”系统来表示“1775步”或者“5/14日”,那会是一串非常吓人的符号,更不要说拿它们来计算了。因为古希腊人在数字计算方面有特别的困难,所以只能主攻几何。题目一旦不涉及数字,形式自然就变得抽象。而如果侧重定性判断,只有“是、非”两种可能性,那么题型也就自然以证明为主了。

不过,正是因为古希腊数学在选题上的极度狭窄,所以他们反而能够集中智慧,演绎出高度精密和优美的结论。

从内容上看,中国数学问题的实用性非常突出。在他们的题目里,不会要求你证明已经知道答案的事情,更不会出现“黑蛇”和“巫师”这种子虚乌有的东西。

中国数学在代数方面投入的精力远远超过几何。因为对待几何问题,数值逼近要比直接求解有效得多。一个角是不是直角,测量一下不就好了?球的体积是多少,需要算得那么清楚吗?留足冗余慢慢修不就行了?要说绝对的精确性,中国人可能首先要问,世界上哪儿有绝对的“直线”、“球”和“圆柱”呢?

事实上,作为中国数学基础经典《九章算术》,是世界古代数学典籍中唯一的群众作品。它是先秦时代中国基层吏员和工匠在数学学科各个分支中的成果集成,因此带有极强的求解精神。而在古希腊、印度或者其它地方,数学通常都是少数精英智力游戏的结果。

相比古希腊和中国,印度数学问题更加充分地体现着游戏精神。最明显的证据当然是那些天马行空的题目内容。什么神鹰捉蛇啊、猿猴采莲啊,一听就知道是数学家凭空编出来,给读者们练脑子用的。

印度数学问题的内涵也是剑走偏锋。几何问题既抽象又枯燥,印度人肯定不喜欢。但是他们也不喜欢解方程。可能是因为对那么几个平凡的数字孜孜以求,不足以体现真正的智慧。所以印度数学家特别钟爱的是不定方程。

不定方程天然就有无穷多组解,从数学上看,找出其中的任何一组并没有特别的意义。但是印度数学家总是能以非常巧妙的方法找出其中的一组整数解,从而使整个解法体现出相当的“美感”。这或许就是游戏精神的最高境界吧。

三、游戏精神

把数学当成游戏,是一个跨文化的普遍现象。即使是以务实著称的中国,也有许多游戏数学的例子。比如“河图洛书”,据说最早是从八卦演化出来的。现在看来,其实就是对排列组合的研究。它要求将1-9的数字写入一个九宫格,使得任何一条横、竖、斜线上的3个数字相加都等于15。它的衍生物很多,包括现在仍然流行的“数独”游戏。

印度数学的游戏精神很强,但是零零散散,不成体系。要说古代数学史上游戏数学的高峰,非古希腊莫属。从毕达哥拉斯到阿基米德,短短2、3百年时间,古希腊的几大学派群英辈出,创下了一个后人难以逾越的高峰。

毕达哥拉斯是古希腊数学的开山鼻祖。他创立的毕达哥拉斯学派是一个半宗教社团,势力一度相当庞大,不仅资金雄厚,还曾经杀死论敌。他们把主要精力放在数字研究上,发明了许多有趣的概念。以下是一些例子:

所谓“偶奇数”,就是这个数可以分解成1个偶数和1个奇数的乘积。比如10可以分解成2和5的乘积,10就是偶奇数。9或者8就不是。

所谓“完全数”,就是这个数正好等于其因数之和。比如6的因数是1,2,3,加起来仍然是6,那么6就是完全数。另外,28也是完全数。

所谓“亲和数”,就是两个数字互为因数之和。比如220和284就是亲和数,220的因数之和等于284,284的因数之和等于220。

这些概念发明出来有什么意义?可以得出什么结论?都没有。由于古希腊的数字符号过于复杂,所以他们不可能进行太复杂的运算。这些研究成果的意义,只限于初级的趣味而已。传说毕达哥拉斯证明了勾股定理,还宰了100头牛庆祝。不过他的证明内容已不可考,而且毕达哥拉斯学派奉行素食。所以此事存疑。

毕达哥拉斯学派钻在数字研究的死胡同里,白费了不少力气。亚历山大学派吸取了他们的教训,专攻几何学,终于在欧几里德时代有所建树。说实在的,几何学中的大部分结论,如“三角形内角和为180度”之类,实用意义跟毕达哥拉斯的那些“趣味数字”比起来,也就是半斤八两。两者都是象牙塔里的阳春白雪,智力游戏而已,与实践操作不沾边。没有任何一种地中海文明的工艺品或者建筑物,是基于古希腊几何学的。

欧几里德的真正伟大之处,是把几何学与柏拉图、亚里士多德的逻辑演绎法结合了起来。他首先创立了“公理”体系,等于是给几何学这个游戏写出了说明书。一系列循序渐进的命题,更像是设定巧妙的一道道关卡,引导后来者步步深入,欲罢不能。

禁止使用直尺和圆规以外的任何工具,这是欧几里德几何学彻底游戏化的标志。这等于是直接宣布了他所追求的是智力游戏,而不是解决问题。封闭的工具和公理体系有助于增强游戏的可玩性。因为这样一来,理论上所有结论都已经包含在给定的工具和公理体系之中。人们需要做的只是像搭积木一样,变换着角度和组合去尝试运用这些工具和公理。

有一件事实也许比《几何原本》中的巧妙证明更加令人惊讶:欧几里德一生没有推导出任何形状的面积或者体积公式。亚里山大学派的另一高峰阿基米德,也只是推导出“球的体积相当于外切圆柱体积的2/3”这样的结论,至于球的体积到底是多少,则不置一字。

作为古希腊文明的直接继承者,古罗马人在艺术、军事和建筑方面都达到了极高的水平。但是他们对古希腊数学却异常不感冒。古罗马法律中,关于遗产分割的条款包含非常复杂的数学计算。古罗马繁荣的土地交易也对面积计算提出了很高的要求。但是这些都与古希腊数学无关。正是古罗马人的冷漠态度,给古希腊的游戏数学画上了一个非常突兀的休止符。远在欧洲进入中世纪之前,它就已经枯萎凋零了。

四、求解精神

古罗马统一地中海之后,实用主义大行其道。古希腊数学从此黯然失色,尘封地下。千年之后,伊斯兰数学家重新发掘了古希腊数学。现在流传于世的古希腊数学典籍,全都是由他们翻译和整理而成的。

不过,伊斯兰数学家最看重的,并不是毕达哥拉斯、亚历山大等名门大派的巨著,而是托勒密的《弦表》。这张“表”看起来非常普通,它记录了从1度到90度正弦值,相当于从sin1°到sin90°的数值表。要是放在现代,这应该属于初中的教学内容。

与阿基米德那些如有神助的证明相比,《弦表》简直土得掉渣。但是在伊斯兰数学家看来,神作除了供人赞叹之外别无用处,但是速算表却是拿来就可以用的。为此,他们还特地把托勒密的作品集《数学集合》改名为megisti syntaxis,意思是“最伟大的集合”。

与古罗马和伊斯兰的数学家相比,中国人的求解精神更加源远流长。远在夏商周之前的大禹时代,“矩”便已经是非常普及的工具了。“矩”的两条边分长短,可以用于测量。“矩”的夹角是直角,可以直接作图。如果以一脚支地,“矩”还可以当作圆规画圆。要是允许使用这种万能神器,古希腊尺规作图中的许多问题就都不存在了。

中国人也非常重视速算。《韩诗外传》记载,齐桓公曾经戏弄山野村夫说:“九九足以见乎?”。他的意思是,只会背九九乘法表也好意思来见我?可见在公元前700多年,九九乘法表就已经相当普及了。此事不见于正史,或可存疑。但是退一万步说,至少在《韩诗外传》的创作年代,公元前200多年,九九乘法表肯定已经普及了。而在13世纪阿拉伯数字传入欧洲之前,欧洲人用罗马数字做一道乘法题都很不容易。

在《论球和圆柱》中,阿基米德用了整本书的内容来推导球的体积公式。他的结论是球的体积相当于外切圆柱体积的2/3。这个结论是精确的,但是圆柱的体积公式到底是什么,仍然说不上来。阿基米德止步于此,很可能是因为圆柱的体积公式涉及π。而π是无理数,性质过于复杂,使用希腊数字更是难以处理。

与阿基米德同时代的《九章算术》给出圆的体积公式为9/16D^3。这个公式没有推导过程,很可能是用逼近方法反推得出的。它与精确值之间的误差约为6.9%,但是考虑到体积要开立方,所以实际它只相当于直径测量误差的2.3%。这一公式沿用了一千多年。甚至在祖冲之父子改进算法,推导出精确公式π/6D^3之后,在实践中使用最广泛的仍然是《九章算术》中的近似值。由此可见这个“解”的强大生命力。

古代数学求解的问题五花八门,其中的最高峰当属解方程。中国人在先秦时代就已经发明了通用的多元一次方程组解法。但是对于一元多次方程,他们一直满足于利用“带从开方术”做近似解,从来没有推导出公式。从务实角度看,这或许不难理解。因为即使花功夫推导出了一个精确的公式,在代入实际计算的时候,得到了√2之类的解,还是要近似成1.414来用。那为什么要多此一举去推导公式,直接近似解不就好了吗?

可以说,《九章算术》横空出世之后,中国人生活中的大部分数学问题都已经可以得到“差不多”的解答。此后2000多年,再没有出现一个能与之比肩的高峰。从这个角度看,中国数学与古希腊数学的宿命又有几分相似。

五、融汇贯通

古希腊人把几何学推进到极致,然后就无路可走了。中国人满足于方程的近似解,然后也停止不前了。伊斯兰数学家采二者之长,融会贯通,走出了一条新路。花拉子密则是其中的代表。他的《代数学》中给出了一个一元二次方程。

花拉子密手头没有公式,所以他试图用几何方法辅助解方程。他先做一个边长为x的正方形,代表x平方。然后在它的两侧各补一个边长为5的长方形,它们的面积分别为5x,2个一共是10x。如果在对角线上再补一个边长为5面积为25的正方形,就可以凑成一个新的大正方形。大正方形的边长为x+5,面积为x+5的平方。

这样就得到了一个新的方程。把它和原来的题目方程联立起来,成为一个方程组。

然后把题目方程代入新方程,消去单独项。然后就可以解出答案了。

花拉子密的方法,说穿了就是利用几何方法推导二项式分解,并没有超出中国数学家早已掌握的能力范畴。但是另一位波斯籍伊斯兰数学家,海亚姆发明的三次方程几何解法则是货真价实的创新了。海亚姆给出了25类三次方程的解法,我们举其中一例。

海亚姆先做两个变量替换。

于是方程变形为:

此时加入一个变量y,将原来的一元三次方程变成二元二次方程组。

这个方程组的由两个几何图形组成,前一个是正焦弦为c的抛物线,后一个是直径为d的圆。从两个图形的交点做垂线,则线段QS的长度就是方程的解。

这种将几何与代数熔于一炉的数学方法,在17世纪被欧洲人笛卡尔正式奠基为解析几何。解析几何是微积分的基础,也是近代数学与古代数学的分水岭。限于篇幅,这里我们就不再叙述笛卡尔以及他身后的数学思想了。

倒是另一个问题值得讨论。古罗马统一地中海之后,欧洲的数学水平曾长期处于落后位置。中国和伊斯兰数学家在解方程方面的成就远远超过欧洲。为什么近代数学发端于欧洲,而不是中国或伊斯兰国家?

首先,“科学是没有国界的”。数学作为一种纯粹思想产物则尤其如此。虽然东西方数学发展水平的差距一度很大,但是到13世纪十字军东征时,欧洲数学家就已经重新站到了“历史巨人的肩膀”上,与世界不再有隔代的差距了。所以在数学界,领先总是特别困难,而追赶又显得特别容易。

其次,“数学是自然科学皇冠上的明珠”。反过来,数学的发展也不可能完全脱离其它学科的支持。在古代,其它自然科学的发展受到实验条件的限制很大。所以数学几乎是“一骑绝尘”,其发展程度远远超出了社会的需要。南北朝祖冲之父子的《缀术》一书,就被认为内容过于艰深,以至于到隋代就已经“学官莫能究其深奥,故废而不理”。

近代数学是与天文、航海、光学、力学等自然科学一起发展起来的。哥白尼、伽利略、开普勒、笛卡尔、牛顿等人,都是以其它科学家的身份闻名,而实际为数学做出了杰出贡献。其它学科提出问题,数学求解,然后再由其它学科实践并检验。这是近代自然科学各学科互动发展的基本模式。

最后,“科学技术是第一生产力”。但是这个判断的兑现需要时间。《几何原本》问世2000多年后,才被重新发掘出来,成了锻炼学生逻辑思维的必读教材。牛顿的《自然哲学的数学原理》一经出版,就震惊学界。但是一条著名评论却说“读这本书,就像是走进了上古传说中的巨人武器库。那些武器如此巨大,以至于无法想象如何去挥动它”。

地理大发现带来的巨大财富,让欧洲人有底气去追求一些看不到短期回报的东西。他们继承了古希腊数学逻辑演绎的传统。但是他们并不把数学当成一个规则封闭的游戏,而是积极务实地去解决科学和实践上的各种问题。在这个意义上,近代数学的核心推动力其实是求解精神。古希腊的游戏精神和中国的求解精神,终于在近代欧洲融汇贯通。

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